01-向量究竟是什么?#
定义#
向量是具有大小和方向的量
表示方式#
- 通常用箭头或带方向的线段表示
- 关键属性是长度 (模长) 和方向
- 示例:向量 (-2, 3) 表示从原点 (0,0) 指向点 (-2,3) 的箭头
向量模长计算公式#
$$ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$
特征#
- 存在多维向量 (二维/三维在游戏领域最常用)
- 本质是有序数字列表,可代表多种事物
向量相加#
可以视作从原点沿两个向量方向移动,比如向量 V+ 向量 W,意味着我们先往向量 V 方向移动,再往向量 W 方向移动,移动距离为它们的模长
向量相加公式#
$$ \vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} x_1 \ y_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_2 \ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \ y_1 + y_2 \end{bmatrix} $$
向量和标量相乘#
也可以称作向量的缩放
数乘公式#
$$ \vec{v} = k \cdot \vec{v} = (k v_x, k v_y, k v_z) $$
02-线性组合,张成的空间与基#
基向量#
在二维坐标系 (xy 平面) 中,有两个特殊的向量,一个指向正右方,长度为 1, 称为 “i 帽”, 另一个指向正上方,长度为 1, 称为 “j 帽”, 这两个向量共同构成该坐标系的 “基向量”, 它们是坐标系的基础框架.
例如,向量 (3, -2) 可以理解为
- 将基向量 i 帽拉伸 3 倍
- 将基向量 j 帽拉伸 2 倍
- 最终向量 (3, -2) 就是这两个缩放后的向量的和 (3i + (-2j))
这里,坐标值 3 和 -2 被视为标量,而基向量则是被这些标量缩放的对象
线性组合#
两个向量标量乘法之和被称为线性组合
$$ \vec{U} = a\vec{V} + b\vec{W} $$
a,b 为标量
张成空间#
想象你有几个箭头,张成空间就是只用这些箭头,通过两种最基础的操作,向量加法和数乘,你能到达的所有可能位置构成的集合
一维#
共线 即构成空间的向量在同一条线上
二维#
三维#
存在一个向量,和其他向量不在同一个平面上,当你伸缩这个向量时,它会把平面沿它的方向移动,从而达到三维空间的任何一点
线性相关#
如果移除一个向量,发现张成空间没有变小,那么说明这个向量是多余的.它本身是由其他向量通过数乘和相加得到的,这类向量被称为线性相关
线性无关#
如果移除一个向量,发现张成空间变小,说明这个箭头不是多余的,这样的向量被称为线性无关
基#
向量空间的一个基,就是一组数量最少的,线性无关的向量
- 能张成整个空间
- 都是线性无关的