07-点积与对偶性#
点积的几何意义#
两个向量 $\vec{V}$ 和 $\vec{W}$ 的点积,等于 $\vec{W}$ 在 $\vec{V}$ 方向上的投影长度乘以 $\vec{V}$ 的长度.
公式#
$$ (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = x_1x_2 + y_1y_2 $$
- 点积结果的符号:
- $\vec{W}$ 的投影方向与 $\vec{V}$ 相同,点积为正.
- $\vec{W}$ 的投影方向与 $\vec{V}$ 相反,点积为负.
- $\vec{W}$ 与 $\vec{V}$ 垂直,点积为零.
- 点积满足交换律:$\vec{V} \cdot \vec{W} = \vec{W} \cdot \vec{V}$.
假设 W 和 V 是长度相同的两个向量,它们在一条线上是对称的,此时 V 变成 2 倍长,W 投影在 V 的长度不变,V 投影在 W 上变成 2 倍 长,此时:
$2(\vec{V}) \cdot \vec{W} = 2(\vec{V} \cdot \vec{W})$
对偶性#
一个二维向量经过 $1 \times 2$ 矩阵变换的结果,与两个二维向量点积的结果相同.一个向量投影到另一个向量上,这个过程可以视作一种线性变换
例:$[1, -2] \begin{bmatrix}4 \ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \ -2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4 \ 3\end{bmatrix}$
假设存在单位向量 $\vec{U}$, 基向量 $i, j$ 在这个向量上的投影为 $U_x, U_y$, 则投影矩阵为 $[U_x, U_y]$. 任意向量通过 $[U_x, U_y]$ 变换到该直线,或与 $\vec{U}$ 点积,计算结果相同.$\vec{U}$ 与单位向量 $i$ 点积,等于 $\vec{U}$ 在 $i$ 方向上的投影长度.若 $\vec{U}$放大为原来的 3 倍,如 $[3U_x, 3U_y]$, 结果等于投影值乘以 3. 这种现象称为"对偶性", 即矩阵向量乘积与点积之间的自然对应关系.
08-叉积#
第一部分:叉积的标准介绍#
给定向量 $\vec{V}$ 和 $\vec{W}$, 将它们分别平移到对方终点,形成一个平行四边形的平面.叉积结果是垂直于这个平面的向量,长度等于平面面积.叉积产生的新向量朝向由右手定则确定.
叉积的符号:#
- $\vec{V}$ 在 $\vec{W}$ 右侧,结果为正.
- $\vec{V}$ 在 $\vec{W}$ 左侧,结果为负.
公式#
二维
$$ \det\left(\begin{bmatrix}X_1 & Y_1 \ X_2 & Y_2\end{bmatrix}\right) = X_1Y_2 - X_2Y_1 $$
三维
$$ (V_1, V_2, V_3) \times (W_1, W_2, W_3) = (V_2W_3 - V_3W_2, V_3W_1 - V_1W_3, V_1W_2 - V_2W_1 $$
特点#
- 两向量越接近垂直,面积越大.
- 其中一个向量放大,面积也按比例放大.
- 结果为负,表示坐标系取向发生翻转.
第二部分:以线性变换的视角看叉积#
- 定义一个三维空间到一维的线性变换:
存在基向量$\vec{V}\vec{W}$, 任意向量$\vec{U}$
$$ \vec{U} = \begin{bmatrix}x \ y \ z\end{bmatrix}, f((x, y, z)) = \det\left(\begin{bmatrix}x & y & z \ V_1 & V_2 & V_3 \ W_1 & W_2 & W_3\end{bmatrix}\right) $$
存在一个向量 $\vec{P}$, 使得: $$\begin{bmatrix}P_1 \ P_2 \ P_3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x \ y \ z\end{bmatrix} = \det\left(\begin{bmatrix}x & y & z \ V_1 & V_2 & V_3 \ W_1 & W_2 & W_3\end{bmatrix}\right)$$
垂直于基向量$\vec{V}\vec{W}$的轴为$K$
三维空间中,平行六面体的体积,由 $\vec{U}$ 在 $K$ 上的投影长度和$\vec{V}\vec{W}$构成的平面面积决定.
$\vec{P} \cdot \vec{U} = |\vec{P}| \times \vec{U}_{\text{\scriptsize 投影于 P}}$
$|\vec{P}| \times \vec{U}{\text{\scriptsize 投影于 P}}$ = $\vec{V}\vec{W}$ 构成平面面积 × $\vec{U}{\text{\scriptsize 投影于 K}}$.
由此可得,$\vec{P}$ 垂直于 $\vec{V}\vec{W}$ 构成的平面,长度等于该平面面积,因此等式成立.