07-点积与对偶性#
点积的几何意义#
两个向量 \(\vec{V}\) 和 \(\vec{W}\) 的点积,等于 \(\vec{W}\) 在 \(\vec{V}\) 方向上的投影长度乘以 \(\vec{V}\) 的长度.
公式#
$$ (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = x_1x_2 + y_1y_2 $$
- 点积结果的符号:
- \(\vec{W}\) 的投影方向与 \(\vec{V}\) 相同,点积为正.
- \(\vec{W}\) 的投影方向与 \(\vec{V}\) 相反,点积为负.
- \(\vec{W}\) 与 \(\vec{V}\) 垂直,点积为零.
- 点积满足交换律:\(\vec{V} \cdot \vec{W} = \vec{W} \cdot \vec{V}\).
假设 W 和 V 是长度相同的两个向量,它们在一条线上是对称的,此时 V 变成 2 倍长,W 投影在 V 的长度不变,V 投影在 W 上变成 2 倍 长,此时:
\(2(\vec{V}) \cdot \vec{W} = 2(\vec{V} \cdot \vec{W})\)
对偶性#
一个二维向量经过 \(1 \times 2\) 矩阵变换的结果,与两个二维向量点积的结果相同.一个向量投影到另一个向量上,这个过程可以视作一种线性变换
例:\([1, -2] \begin{bmatrix}4 \\ 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ -2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4 \\ 3\end{bmatrix}\)
假设存在单位向量 \(\vec{U}\), 基向量 \(i, j\) 在这个向量上的投影为 \(U_x, U_y\), 则投影矩阵为 \([U_x, U_y]\). 任意向量通过 \([U_x, U_y]\) 变换到该直线,或与 \(\vec{U}\) 点积,计算结果相同.\(\vec{U}\) 与单位向量 \(i\) 点积,等于 \(\vec{U}\) 在 \(i\) 方向上的投影长度.若 \(\vec{U}\)放大为原来的 3 倍,如 \([3U_x, 3U_y]\), 结果等于投影值乘以 3. 这种现象称为"对偶性", 即矩阵向量乘积与点积之间的自然对应关系.
08-叉积#
第一部分:叉积的标准介绍#
给定向量 \(\vec{V}\) 和 \(\vec{W}\), 将它们分别平移到对方终点,形成一个平行四边形的平面.叉积结果是垂直于这个平面的向量,长度等于平面面积.叉积产生的新向量朝向由右手定则确定.
叉积的符号:#
- \(\vec{V}\) 在 \(\vec{W}\) 右侧,结果为正.
- \(\vec{V}\) 在 \(\vec{W}\) 左侧,结果为负.
公式#
二维
$$ \det\left(\begin{bmatrix}X_1 & Y_1 \\ X_2 & Y_2\end{bmatrix}\right) = X_1Y_2 - X_2Y_1 $$
三维
$$ (V_1, V_2, V_3) \times (W_1, W_2, W_3) = (V_2W_3 - V_3W_2, V_3W_1 - V_1W_3, V_1W_2 - V_2W_1) $$
特点#
- 两向量越接近垂直,面积越大.
- 其中一个向量放大,面积也按比例放大.
- 结果为负,表示坐标系取向发生翻转.
第二部分:以线性变换的视角看叉积#
- 定义一个三维空间到一维的线性变换:
存在基向量\(\vec{V}\vec{W}\), 任意向量\(\vec{U}\)
$$ \vec{U} = \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}, f((x, y, z)) = \det\left(\begin{bmatrix}x & y & z \\ V_1 & V_2 & V_3 \\ W_1 & W_2 & W_3\end{bmatrix}\right) $$
存在一个向量 \(\vec{P}\), 使得: $$\begin{bmatrix}P_1 \\ P_2 \\ P_3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \det\left(\begin{bmatrix}x & y & z \\ V_1 & V_2 & V_3 \\ W_1 & W_2 & W_3\end{bmatrix}\right)$$
垂直于基向量\(\vec{V}\vec{W}\)的轴为\(K\)
三维空间中,平行六面体的体积,由 \(\vec{U}\) 在 \(K\) 上的投影长度和\(\vec{V}\vec{W}\)构成的平面面积决定.
\(\vec{P} \cdot \vec{U} = |\vec{P}| \times \vec{U}_{\text{\scriptsize 投影于 P}}\)
\(|\vec{P}| \times \vec{U}_{\text{\scriptsize 投影于 P}} = \vec{V}\vec{W} 构成平面面积 × \vec{U}{\text{\scriptsize 投影于 K}}\).
由此可得,\(\vec{P}\) 垂直于 \(\vec{V}\vec{W}\) 构成的平面,长度等于该平面面积,因此等式成立.